¿QUÉ ES UN CUADRADO MÁGICO?
Los cuadrados mágicos sin distribuciones de números enteros en una tabla en forma de matriz, de tal forma que la suma de los números por columnas, filas o diagonales principales es la misma.
A esta cantidad, al resultado de la suma, se le conoce como constante mágica.
¿Cuál es el origen de los cuadrados mágicos?
Si remontamos en la historia de las matemáticas, nos tenemos que ir al año 2200 a. C. , en el cual se encontró el primer cuadrado mágico, es el llamado «Io Shu.» Según dice la leyenda, el emperador lo vio emerger del río Amarillo sobre el caparazón de una tortuga.
Eran usados como amuletos, ya que se llegaba a pensar que podían salvarte de algunas enfermedades.
A lo largo de los siglos, se han seguido utilizando. Por ejemplo, Alberto Durero en 1.514, en su grabado Melancolía, incluye un cuadrado mágico de 4 x 4 y de constante mágica 34.
Si nos fijamos, el año de su creación consta en la última fila.
Este cuadrado mágico está considerado el primero de las artes europeas. Es un cuadrado de orden cuatro en el que siempre se obtiene la constante mágica (34) en las filas, columnas, diagonales principales. Si dividimos el cuadrado en cuatro cuadrados tenemos que los números que integran cada uno de ellos suman 34. Los números 3,8, 14, 15 (movimiento de caballo de ajedrez a partir del 3) suman 34 al igual que el 2, 5, 15, 12. Y si reemplazamos cada número por su cuadrado o por su cubo obtenemos otros dos cuadrados que aunque no son mágicos también tienen propiedades interesantes.
En la Fachada de la Pasión de la Sagrada Familia de Barcelona también aparece otro cuadrado mágico, aunque tiene un par de números modificados para que la constante mágica sea 33, la edad de Cristo en la Pasión.
Construcción de cuadrados mágicos
Para la construcción de cuadrados mágicos tenemos varios procedimientos cuyo uso depende del orden del cuadrado que queramos construir. Tenemos reglas para construir cuadrados de orden impar, cuadrados de orden 4k y cuadrados de orden 4k + 2. Es decir, podemos construir cuadrados de cualquier orden pero con procedimientos distintos según el mismo.
1.- Cuadrados mágicos de orden impar: Método de Loubere
El primer método para la construcción de cuadrados mágicos de orden impar se debe a Loubere. Veamos en qué consiste construyendo un cuadrado mágico de orden 5:
Colocamos el 1 en la posición central de la fila superior y vamos rellenando en diagonal, es decir, el 2 se coloca en la posición (5,4) (fila 5, columna 4), el 3 en la posición (4,5), el 4 en la (3,1), y así sucesivamente. Cuando al intentar colocar un número en la posición que debe ocupar nos la encontramos ya ocupada colocamos ese número justo debajo del último que hemos colocado y continuamos colocando en diagonal.
El cuadrado mágico de orden 5 obtenido con este procedimiento es el siguiente:
Este cuadrado mágico tiene al número 65 como constante mágica.
2.- Cuadrados mágicos de orden impar: Método de Bachet
Otro método para construir cuadrados mágicos de orden impar es el denominado método de Bachet. Veamos en qué consiste construyendo también un cuadrado mágico de orden 5:
Dibujamos en cuadrado de 5×5. A partir de ahí disponemos los números del 1 al 25 como muestra la siguiente figura:
Ahora colocamos los números que han quedado fuera del cuadrado en las posiciones opuestas que quedaron libres. Queda el siguiente cuadrado:
3.- Cuadrados mágicos de orden 4k
Construímos un cuadrado con los números dispuestos de forma consecutiva. Una vez hecho esto conservamos la submatriz central de orden n/2 y las cuatro submatrices de las esquinas de orden n/4. Los números restantes se giran 180º respecto del centro del cuadrado, o si se prefiere se recolocan en orden decreciente.
Para k = 2 obtenemos el siguiente cuadrado mágico de orden 8:
Partiendo del cuadrado con los números dispuestos consecutivamente y eligiendo patrones simétricos distintos podemos obtener otros cuadrados mágicos. Por ejemplo:
4.- Cuadrados mágicos de orden 4k + 2
Este es el método más complicado de todos los que hemos comentado. Por ello simplemente voy a dar algunas pautas para usarlo.
El método se denomina LUX. Consiste en dividir el cuadrado en subcuadrados 2×2 y etiquetarlos según ciertas reglas con las letras L, U y X. Después se realiza algún intercambio entre cuadrados 2×2 y luego se colocan números siguiendo en procedimiento de Loubere comentado antes para etiquetar cada subcuadrado también con un número. Después se asocian los números que corresponden a cada subcuadrado y luego se colocan de una cierta forma según la letra quecorrespondía a cada uno.
Sólo una cosa más:
Utilizando el procedimiento de Loubere podemos obtener un cuadrado mágico de orden 3. Si queremos obtener un cuadrado mágico de orden 9 también podemos utilizar ese procedimiento con los número del 1 al 81, pero podemos actuar de otra forma: construir el de orden 3 del 1 al 9, el de orden 3 del 10 al 18, y así sucesivamente y luego colocarlos en un cuadrado 9×9 dividido en cuadrados 3×3 también mediante el procedimiento de Loubere.
Espero haber despertado tu curiosidad hacia los cuadrados mágicos. Te animo a ver este video, muy interesante...
Fuentes y enlaces interesantes:
